\chapter{基于标度变换的氢原子理想气体弹簧模型\\——包含热力学参数的统一理论框架}
\author{李国斌}
\date{2025年8月17日}

\begin{abstract}
	本文提出了一种创新的理论框架，通过引入$k_{QG}\approx10^{39}$的标度变换，将引力系统与电磁系统的氢原子描述统一起来。首先，我们从第一性原理出发，详细推导了二体引力问题的解析解，并建立了其与弹簧振子模型的等价关系，给出了劲度系数$k$的精确表达式。在此基础上，扩展模型包含了压力、温度、密度等热力学参数，建立了从宏观理想气体到量子尺度弹簧振子的完整对应关系。研究表明，经过规范变换后的引力弹簧模型可以精确重现氢原子的量子力学行为，同时保持与经典热力学的一致性。
	
	\noindent\textbf{关键词：} 标度变换；氢原子模型；劲度系数；二体问题；热力学统一
\end{abstract}

\section{引言}
\subsection{研究背景}
传统氢原子理论面临的核心问题：
\begin{itemize}
	\item 量子力学与经典引力的尺度鸿沟（$\sim10^{39}$量级）
	\item 热力学参数在微观系统的适用性边界
	\item 缺乏统一描述宏观-微观状态的数学模型
\end{itemize}

\subsection{模型创新点}
\begin{equation}
	\mathcal{T}_{k_{QG}}:\ \text{引力系统}\ \xrightarrow{\text{规范变换}}\ \text{电磁系统}
\end{equation}
本文的创新性工作在于：首先严格推导了二体引力系统的等效弹簧劲度系数，为其提供了坚实的力学基础，继而构建了通往量子尺度的标度变换桥梁。

\section{二体引力与劲度系数k的计算}
\subsection{模型描述与假设}
考虑两个球形粒子，质量分别为$m_0$和$m_1$ ($m_0 \gg m_1$)，在万有引力作用下绕其共同质心运动。根据开普勒定律，粒子$m_1$绕质心$F_1$（$m_0$近似位于此焦点）的轨道为一个椭圆，偏心率记为$e_1$。其运动满足牛顿万有引力定律：
\begin{equation}
	F = G\frac{m_0 m_1}{r_1^2} = m_1 \frac{d^2 \vec{r}_1}{dt^2}
	\label{eq:newton_grav}
\end{equation}
其中$r_1$为两粒子间的距离。

\subsection{运动学与动力学参数}
对于椭圆轨道，其半长轴为$a$，半短轴为$b$ ($b = a\sqrt{1-e_1^2}$)。粒子$m_1$的运动学参数如下：
\begin{itemize}
	\item \textbf{轨道周期与角频率}：由开普勒第三定律，
	\begin{equation}
		T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{G(m_0+m_1)}} \approx 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{G m_0}}, \quad \omega = \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{G m_0}{a^3}}
		\label{eq:period}
	\end{equation}
	\item \textbf{线速度$v$}：由能量守恒定律，在任意位置$r$处，
	\begin{equation}
		E = \frac{1}{2}m_1 v^2 - G\frac{m_0 m_1}{r} = -\frac{G m_0 m_1}{2a}
		\label{eq:energy}
	\end{equation}
	\item \textbf{动量$p$与相速度}：$p = m_1 v$。其运动可视为一种波动，波长为德布罗意波长$\lambda = h/p$，波速（相速度）$v_p = \nu \lambda = (E/h)(h/p) = E/p$。
\end{itemize}

\subsection{等效弹簧振子模型}
粒子$m_1$在径向的运动可视为一种振动。设其瞬时位置$r_1$偏离平衡位置（此处取为半短轴$b$）的位移为$x = r_1 - b$。在$e_1 \ll 1$（近圆轨道）的近似下，径向受到的引力可展开为：
\begin{equation}
	F(r) = -G\frac{m_0 m_1}{r^2} \approx -G\frac{m_0 m_1}{b^2} + \frac{2G m_0 m_1}{b^3}(r - b) + \mathcal{O}[(r-b)^2]
	\label{eq:force_expand}
\end{equation}
第一项为常数力，由轨道运动的离心力平衡。第二项是线性恢复力，形式为$F_{\text{elastic}} = -k x$，由此我们识别出等效的\textbf{劲度系数$k$}：
\begin{equation}
	k = \frac{2G m_0 m_1}{b^3} = \frac{2G m_0 m_1}{a^3(1-e_1^2)^{3/2}}
	\label{eq:k_grav}
\end{equation}
结合角频率公式(\ref{eq:period}) $\omega^2 = G m_0 / a^3$，可得$k = 2 m_1 \omega^2 (1-e_1^2)^{-3/2}$。对于圆轨道($e_1=0$)，简化为$k = m_1 \omega^2$，这正是经典弹簧振子的关系。

\subsection{动能振动与波动方程}
粒子$m_1$的动能$K = \frac{1}{2}m_1 v^2$。以其在短轴端点（$r=b$，此处径向速度为零，动能全部为横向动能$K_{\perp}$）的动能$K_b$为基准，其动能在振动过程中周期性变化。
其动能$K$的振动满足简谐振动方程：
\begin{equation}
	\frac{d^2K}{dt^2} + \omega^2 K = 0
	\label{eq:ke_osc}
\end{equation}
进一步，我们可以将其视为一种在轨道上传播的“动能波”，其波动方程可写为：
\begin{equation}
	\frac{\partial^2 K(\theta, t)}{\partial t^2} = v_p^2 \frac{\partial^2 K(\theta, t)}{\partial \theta^2}
	\label{eq:ke_wave}
\end{equation}
其中$\theta$为角坐标。

波速满足：
\begin{equation}
	v_p=\sqrt{\frac{T}{\rho}}\\
	\label{eq:ke_wave02}
\end{equation}
其中$T$是张力，由理想气体的压力p和弦横截面积提供。
$\rho$是气体密度，满足理想气体状态方程。



